Експериментална проверка на теоремата на Щайнер чрез торз...

[Mozo]

Експериментална проверка на теоремата на Щайнер чрез торзионно махало

Протокол № 8
Панайот Красимиров Панайотов
І група, І курс, Фак.№ 8725

Теорема на Щайнер

Цел: Експериментална проверка на теоремата на Щайнер чрез торзионно махало.

Теоретична част: Теоремата на Щайнер дава зависимост между инерчния момент на твърдо тяло, въртящо се около произволна ос и този на същото тяло въртящо се около ос минаваща през центъра на маите му чрез следната формула:
I = I0 + ml2 [1]
където m e масата, а l – разстоянието между двете оси.
Връзката между периода и инерчния момент на торзионно махало е следната:
[2]
където D е дирекционния момент на нишката. Тъй като D е неизвестно, налага се използването на тяло с известен инерчен момент, за да се определи D.
Експериментална част: Опитната постановка се състои от разграфена пръчка, окачена на тънка нишка, около която могат да се закрепват симетрично спрямо оста на люлеене телата, чиито инерчен момент се изучава. На мястото на пръчката може да се закрепва и диск, а неговия инерчен момент е известен и може да се пресметне по формулата:
[3]
където М и R са съответно масата и радиуса на диска. Така от формули [2] и [3] за дирекционния момент на нишката се получава:
[4]
и след като заместим във формула [2] за пръчката, получаваме:
[5]
M = 0.0507 ± 0.00005 kg; R = 0.09 ± 0.005 m; m = 0.0408 ± 0.00005 kg.
Задача 1: Проверка на теоремата на Щайнер
За диска имаме:
2T T
Td1 [s] 2.93 1.465
Td2 [s] 2.79 1.395
Td3 [s] 2.81 1.405
Td4 [s] 3.07 1.535
Td5 [s] 2.73 1.365
Td6 [s] 2.72 1.360
Td7 [s] 2.69 1.345
Td8 [s] 2.94 1.470
Td9 [s] 2.93 1.465
Td10 [s] 2.98 1.490
Td [s] 2.859 1.4295


За да се провери теоремата на Щайнер е необходимо да се измери инерчния момент на системата пръчка – тежести за няколко различни положения на тежестите.
І. Остa на въртене минава през центъра на масите (L0 = 0 m) :
2T T
T1 [s] 1.98 0.990
T2 [s] 1.97 0.985
T3 [s] 1.94 0.970
T4 [s] 1.98 0.990
T5 [s] 1.92 0.960
T6 [s] 1.88 0.940
T7 [s] 1.91 0.955
T8 [s] 2.03 1.015
T9 [s] 1.94 0.970
T10 [s] 2.17 1.085
Tcp [s] 1.972 0.986
I0 [kg.m2] 9.77358.10-5
ΔI0 1.87992.10-6

ІІ. Тежестите са разположени симетрично спрямо оста на въртене ( L1 = 2,76375.10-2 m):
2T T
T1 [s] 2.81 1.405
T2 [s] 2.71 1.355
T3 [s] 2.81 1.405
T4 [s] 2.80 1.400
T5 [s] 2.78 1.390
T6 [s] 2.83 1.415
T7 [s] 2.74 1.370
T8 [s] 2.77 1.385
T9 [s] 2.73 1.365
T10 [s] 2.77 1.385
Tcp [s] 2.775 1.3875
I1 [kg.m2] 0.000193538
ΔI1 3.15466.10-6

ІІІ. L2 = 4,99.10-2 m
2T T
T1 [s] 3.53 1.765
T2 [s] 3.63 1.815
T3 [s] 3.53 1.765
T4 [s] 3.65 1.825
T5 [s] 3.80 1.900
T6 [s] 3.60 1.800
T7 [s] 3.43 1.715
T8 [s] 3.61 1.805
T9 [s] 3.29 1.645
T10 [s] 3.49 1.745
Tcp [s] 3.556 1.778
I2 [kg.m2] 0.000317807
ΔI2 4.67718.10-6




ІV. L3 = 7,31375.10-2 m
2T T
T1 [s] 4.39 2.195
T2 [s] 4.61 2.305
T3 [s] 4.71 2.355
T4 [s] 4.29 2.145
T5 [s] 4.68 2.340
T6 [s] 4.85 2.425
T7 [s] 4.35 2.175
T8 [s] 4.70 2.350
T9 [s] 4.99 2.495
T10 [s] 5.08 2.540
Tcp [s] 4.665 2.3325
I3 [kg.m2] 0.000546945
ΔI3 7.31812*10-6

Според теоремата на Щайнер трябва:
I = I0 + 2mL2.,
Така че ако начертаем графика на I(L2) би трябвало тя да представлява права линия с ъглов коефициент равен на: 2m:


Δгр = ± 0.000005 kg.m2

Изводи: Графиката e права в рамките на грешката, като ъгловият й коефициент е точно равен от масите е точно равен на 2m, а свободния коефициент - на I0. Така че можем да заключим, че теоремата на Щайнер е доказана експериментално в рамките на грешката.





Задача 2: Графично определяне на D:
Ако начертаем графика на T2(I), то тя би трябвало да е права с ъглов коефициент: k = , така че D= .
T2 [s2] I [kg.m2]
0.97219600 9.77358,10-5
1.92515625 0.000193538
3.16128400 0.000317807
5.44055625 0.000546945



Изводи: Тъй като графиката се получава точно права и ъгловият й коефициент е равен на: к = 9947.2, следва, че дирекционния момент на нишката е равен на: D = 0.00396879 [N.m].