Ръководство за решаване на задачи по теоретична механика - част I - курсови задачи

[Mozo]

С. Х. Стефанов
РЪКОВОДСТВО
ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО
ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА
София, 2014 г.http://stefanov-ltu.free.bg
2
ПРЕДГОВОР ОТ АВТОРА
Настоящото ръководство за решаване на задачи теоретична механика е учебно
помагало в процес на развитие. То съдържа задания, указания и решени примери за
осем курсови задачи. Те се водят под номера 1 – 8: първите четири курсови задачи са
по статика, петата и шестата са по кинематика, а седмата и осмата са по динамика.
Освен това настоящото помагало съдържа общи задачи по теоретична механика,
задавани на изпити: така студентите получават представа за обема и за характера на
изпитните задачи.
Настоящото ръководство е свободно достъпно на горецитирания сайт. То „върви”
с учебника ми „Теоретична механика”, който също е на разположение на сайта.
Ръководството е оригинално предназначено за Лесотехнически университет (ЛТУ) –
София, Факултет Горска промишленост (ФГП), специалност на студентите –
Технология на дървесината (ТД). Но то може успешно да служи и на студентите от
други технически факултети в други университети, както и на колегите, които
преподават „Теоретична механика” там. По този повод, а и въобще, препоръчвам да се
прочете и предговорът ми към учебника ми по теоретична механика.
София, 2014 г.
Авторътhttp://stefanov-ltu.free.bg
3
СЪДЪРЖАНИЕ
ЧАСТ І – КУРСОВИ ЗАДАЧИ ....................................................................................... 4
Курсова задача No 1. Закрепване на тяло в равнина с три опорни сили и
тяхното определяне ......................................................................................................... 5
Решен пример ......................................................................................................... 8
Някои напътствия ................................................................................................... 10
Курсова задача No 2. Опорни реакции и ставни сили на герберова греда ............... 11
Решен пример .......................................................................................................... 12
Курсова задача No 3. Опорни реакции и ставни сили на триставна рамка .............. 15
Решен пример .......................................................................................................... 16
Курсова задача No 4. Прътови усилия в равнинна прътова конструкция ................. 19
Решен пример ......................................................................................................... 21
Курсова задача No 5. Кинематика на едно моментно положение на лостов
(състоящ се от греди) равнинен механизъм .................................................................. 25
Решен пример .......................................................................................................... 26
Курсова задача No 6. Кинематика на едно моментно положение на равнинен
механизъм с едно транслиращо тяло, с въртящи се колела и с едно
търкалящо се колело ........................................................................................................ 31
Решен пример .......................................................................................................... 33
Курсова задача No 7. Уравнения на динамиката на транслационно
движещо се тяло, въртящи се колела и търкалящи се колела
(едно или две) ................................................................................................................... 39
Решен пример .......................................................................................................... 41
Курсова задача No 8. Пресмятане на ускорение в механизъм
чрез теоремата за изменението на кинетичната енергия ............................................ 45
Решен пример .......................................................................................................... 45
ЧАСТ ІІ – ОБЩИ ЗАДАЧИ (ИЗПИТНИ) ...................................................................... 49http://stefanov-ltu.free.bg
4
ЧАСТ І – КУРСОВИ ЗАДАЧИhttp://stefanov-ltu.free.bg
5
Курсова задача No 1
Закрепване на тяло в равнина с три опорни сили
и тяхното определяне
За тази курсова задача трябва да е проучена глава 6 от учебника.
Изисква се от студента като бъдещ конструктор сам да композира и предложи
изчислителната схема на задачата. Могат да се почерпят идеи и от фигурите в глава 6.
Прави се скица на ръка, като се използват молив и гума. Преподавателят помага на
студента, нанася корекции, ако са необходими, и накрая одобрява и разписва схемата.
Тялото ще бъде права греда (нехоризонтална), Г-образна рамка, П-образна рамка,
Т-образна рамка или рамка с всякаква друга форма. Поощрява се предпочитание на
студента да изобрази също плоча, черупка, масивно тяло, с прави или криви очертания,
конкретен конструкционен елемент и др.
Изобразяват се задавани външни активни товари в една равнина (равнината на
чертежа). Всеки товар се означава на скицата с буква, а встрани от скицата се записват
задаваните числени стойности: между 1 и 10 kN (за сила) или kN.m (за момент), или
kN/m (за гъстота на разпределена сила). Залагат се следните активни товари.
1. Една наклонена сила, означена например с F. В началото на решението ще се
упражнява разлагане на F на F x и F y (или F h и F v ).
2. Един момент-„завъртулка” (двоица), означен с M.
3, 4. Една напречна равномерно (правоъгълниково) разпределена сила с гъстота,
означена например с q 1 , и една напречна триъгълниково разпределена сила с
максимална гъстота, означена например с q 2 . Двете разпределени сили могат да са с
различни местоположения върху тялото. Вместо това може да се зададе една-
единствена трапецовидно разпределена сила. Тогава трапецът на разпределението ще е
с основи q 1 и q 1 + q 2 , и ще се разложи на правоъгълник и правоъгълен триъгълник. Така
или иначе в началото на решението ще се упражни съсредоточаване на разпределенията
с гъстотите q 1 и q 2 в съсредоточени сили, означени например с Q 1 и Q 2 .
Залага се закрепване с три опорни сили в равнината на активните товари. Всяка
опорна реакция се означава например с някоя от буквите A, B, C и/или се намесват
индекси x , y или h , v и др. Удобно е с една и съща буква да се означава както сила, така и
приложната й точка. Опорите се избират измежду следните видове.
1. Неподвижна опорна става (неподвижна ставна опора), която създава две преси-
чащи се в нея опорни сили, например A x и A y . Залагат се произволно техни
предполагаеми посоки.http://stefanov-ltu.free.bg
6
2. Подвижна (на „релси”) опорна става, създаваща една-единствена опорна сила,
перпендикулярна на „релсите” и с произволна предполагаема посока.
3. Прътова опора, създаваща една-единствена опорна сила, съосна с пръта и с
произволна предполагаема посока.
4. Опъната нишка, създаваща една-единствена съосна с нея дърпаща сила.
5. Идеално гладък упор (изпъкнал, острие или др.), създаващ една-единствена
натискаща сила по нормалата на допирането.
Една от трите опорни сили, създавана от опора от вида 2 – 5, да бъде наклонена,
за да се упражни разлагане на наклонена опорна сила. Ако например B е такава опорна
сила, наклонена например на ъгъл β = 26 o спрямо x, то ще важи B x = Bcos β = 0,8988B и
B y = Bsin β = 0,4384B. Стават две сили с изразите 0,8988B и 0,4384B, но те представляват
единствената опорна сила с големината B като единствено неизвестно.
Ъглите ще са в обикновени градуси (degrees), а не в „стотични” градуси (grades),
нито в радиани (radians). Съответно калкулаторът трябва да е настроен на degrees.
Директрисите на трите опорни сили не трябва да се пресичат в една точка. Освен
това те не трябва да са успоредни и трите (две от тях могат да са успоредни).
Задават се размери (и ъгли) такива, че конструкцията да е от порядъка метър (на
метър) (което в инженерната практика често кореспондира със сили от порядъка на
няколко kN, т.е. няколко стотици стари кГ). Оразмеряването трябва да осигури
геометрична определеност, без да липсват необходими за задачата размери и ъгли, нито
да има противоречащи си такива. Оразмеряването установява също местоположенията
на директрисите на активните и реактивните сили (само активният момент M сe оставя
без фиксирано място; той може да се премести статично еквивалентно на всяко друго
място върху тялото).
Използват се размерни стрелки и спомагателни размерни линии – така, както се
изисква от курса по конструктивно чертане за специалността ТД (няма да се приемат
„засечки” на размери и други неприсъщи на споменатия курс чертожни похвати).
Размерите се записват на скицата направо като числа в [m]. Тези числа трябва да
отговарят приблизително на пропорциите на размерите (и ъглите). Непропорционално
изображение на скицата може да подведе към грешно решение.
Съставя се предварителен план на решението: записват се в начален вид трите
възнамерявани уравнения за равновесие така, че първото и всяко следващо уравнение
да съдържа само една нова неизвестна реакция. Указва се със стрелка от уравнението
коя е тя. Във всички случаи е препоръчително да се започне със сума от моменти равна
на нула около (ритерова) пресечна точка на две от трите опорни сили. Те се елиминиратhttp://stefanov-ltu.free.bg
7
(не участват) и двете, и като единствено неизвестно остава третата сила. Ако в
закрепването има неподвижна опорна става, то удобно е това първо, моментово
уравнение да бъде тъкмо спрямо нея. Второто и/или третото уравнение може да е също
моментово около друга точка, но обикновено се предпочита и второто, и третото да са
силови проекционни с по едно неизвестно.
Под черта под трите (работни) уравнения в плана на решението се записва поне
едно проверочно уравнение. Обикновено е удобно то да е моментово, около друга
подходяща точка, така, че по възможност в него да участват и трите намерени опорни
сили (за да се проверят и трите). За целта може да се избере и някоя междинна точка,
включително извън тялото, с удобни координати. Допуска се в проверочното уравнение
да са намесени и само две от трите намерени опорни сили (допуска се една опорна сила
да остане непроверена – която е определена с просто изчисление и едва ли е грешна).
Следва развитието на уравненията за равновесие. Препоръчва се то да се прави
първо в буквен вид: да се запазват буквите на всички участващи активни и реактивни
товари. В буквения вид всяко уравнение е много по-удобно за проверка (особено ако
накрая се окаже, че проверочното уравнение не излиза). Едва след преобразуване и
решаване спрямо буквата на неизвестната опорна сила може вече да се замества с
числа. Изисква се всяко замествано и получавано число да бъде записвано с точност до
четири значещи цифри, като четвъртата цифра се закръгля според петата.
Сумата в проверочното уравнение ще даде точна нула само в частен случай на
незакръгляни числа. В общия случай на работа с ограничена числена точност е
очаквано да се получи отклонение от нулата като абсолютна грешка. Тя нищо не говори
за порядъка на събираемите. Съответно пресмятането докрай на самата сума в
проверочното уравнение е ненужно; нещо повече – би свидетелствало за неразбиране
на понятията абсолютна и относителна грешка. В сумата, след приведение (групиране)
поотделно на положителните и отрицателните събираеми, трябва да останат само едно
положително и едно отрицателно събираемо. Ако те се различават в четвъртата
значеща цифра, такава относителна грешка е очаквана и приемлива. Ако се различават
в третата значеща цифра, но с не повече от една единица, това също е приемливо. Ако
разликата е по-голяма, и още във втората, или дори в първата значеща цифра,
решението на задачата е грешно.
При неизлизащо проверочно уравнение преподавателят може да оцени решението
дори до 90% (от максимум 100%), ако се окаже, че студентът бърка технически, не и
принципно (началното буквено развитие на уравненията за равновесие е принципно
вярно). Вероятността за студента да сбърка технически в подобен вид задачи и да неhttp://stefanov-ltu.free.bg
8
излезе проверочното уравнение е доста голяма (над 50%). После откриването на
грешката може в някои случаи да се окаже много времеотнемащо. Затова се препоръчва
да се отделя достатъчно време за внимателно оглеждане на всяка пресмятане и да се
изпълнява то двукратно, по различни начини.
Решен пример
На фиг. 1-1а е показана изчислителна схема, съставена според изискванията.
Опорите могат да бъдат също във статично еквивалентни варианти „б”, „в” и „г”.
Опорните реакции са изобразени на фиг. 1-2. Те заместват опорите и съответно
изображенията на опорите липсват (по принцип, при изобразяване на една сила върху
отделено за разглеждане тяло, от илюстрацията следва да се маха другото тяло, което
причинява силата). Допуска се обаче на един и същи чертеж да присъстват и опорите, и
опорните реакции; в случая фиг. 1-1а и фиг. 1-2 могат да се съвместят в една фигура.

Целият материал: