Пищови по Висша математика-1

[Kotkata68]

1.Ф-И НА 2 ПРОМЕН ЛИВИ – Ако на всяка на редена n-орка числа x1, x2, …, xn е съпоставено по някакво правило f ед инствено число у, казва ме, че е зададена ф-я на n независими променли ви у=f(x1, x2, …, xn).Мно жеството от стойности на аргументите, за кои то участващите в аналит ичния израз f операции имат смисъл, се наричат дефиниционна област. Дефиниционните облас ти са части от равнината ограничени от някакви линии. Тези линии се на ричат граници на област та. Точките от дефин. област, които не лежат на границата й, се нари чат вътр. т. Ако в област та влизат и т. от граница та й, тя се нарича затвор ена, а областта, състоя ща се само от вътр.т. се нарича отворена. Облас тта се нарича ограниче на, ако има положител но число R такова, че за всяка т.М от нея е изпъл нено неравенството |OM|<R, където т.О е началото на коорд. сис. Нека ф-ята z=f(x,y) е де финирана в областта D и т.Мо(хо,уо) лежи в D. Числото L се нарича гра ница на ф-ята z при х кл онящо към хо и у клоня що към уо, ако за всяко положително ε може да се намери положително δ такова,че щом тМ(х,у) е в δ – околността на т.Мо, е изпълнено нерав енството |f(x,y)-L<ε|






4. ФОРМУЛА НА ТЕЙ ЛЪР - Ако ф-ята f(х,у) е дефинира на и има непр екъснати частни произв одни до ред n+1 в облас тта D,за всяка т.(хо,уо)єD и всяко ∆х и ∆у са таки ва,че т.(хо+∆х,уо+∆у)єD, е изпълнено равенство то:

където

0<θ<1. Нека т.Мо(хо,уо) принад лежи на деф.област D на ф-ята z=f(x,y). Казваме, че тази ф-я е непрекъсна та в т.Мо, ако границата й при х клонящо към хо и у клонищо към уо е = на стойността на ф-ята в т.Мо:
Частни производни – ча стна производна на аргу мента х на ф-ята z=f(x,y) наричаме границата на отношението на частно то й нарастване по х и нарастването на х, кога то оставим последното да клони към 0. Означа ва се или

Както при ф-я на една пр оменлива, въведените ча стни производни на ф-я на няколко променливи в общия случай са също ф-ии на тези променливи. Техните частни производ ни се наричат втори част ни производни и напри мер за ф-я на две промен ливи са 4 на брои:
;
Теорема1: Ако ф-ята z=f(x,y), частните й прои зводни от първи ред и дв ете й смесени производ ни от втори ред съществу ват и са непрекъснати в т.(х,у) и в нейната околно ст, в тази т. е изпълнено равенството

2.ДИФЕРЕНЦИАЛИ – Ф-я, в чието пълно нарастване в т.(х,у) може да се представи в този вид – линейна относ но нарастванията на аргуме нтите част + безкрайно мал ка от по-висок ред ∆ρ, се на рича диференцируема в та зи т., а главната част на нар астването й се нарича пълен диференциал и се означава dz или df. Нарастванията на аргументите са = на техните диференциали dx иdy, при което:
Изразът:

се нарича пълен диференци ал на z. Формула за пълна производна:

Пълният диференциал на пълният диференциал на ф-ята z се нарича втори пълен диференциал на z. Ако z=f(x,y), като вземем предв ит, че диференциалите на аргументите не са ф-ии на х и у, получаваме:




3. НЕЯВНИ Ф-ИИ - Ако ф-ята y=f(x) с дефиниционна област D удовлетворява ур авнението F(x,y)=0 т.е. за всяко xєD е изпълнено раве нството F(x,f(x))=0 казваме, че y=f(x) е неявна ф-я на х, опр. от урав. F(x,y)=0. Ако ф-ята F има производни по двата си аргумента и ф-ята fе диференцируема, от урав. F(x,y)=0 по формулата за пълна производна, след диф еренциране на двете му страни получаваме:

5.ЕКСТРЕМУМИ НА Ф-ИИ НА 2 ПРОМЕН.
Казваме, че ф-ята z=f(x,y) има max в т.Мо(хо,уо) от дефиниц ионната си област D, ако стойността й във всяка друга достатъч но близка да Мо т. (хо,уо) от D е по-малка от стойността й в Мо: f(хо,уо)>f(х,у). Аналитично z има min в т.Мо, ако стойността й във всяка друга дост атъчно близка да Мо т. (х,у) от D е по-голяма от стойността й Мо: f(хо,уо)< f(х,у). Ако ф-ята z има в тази т. екст ремум. Теорема: Необходимо условие за екстремум на ф-ята z=f(x,y) в дадената т. е всяка от първите й час тни производни в тази т. да се анулира или да не съществува. Точки те в които е изпълнено необходимото условие за екстремум, се нарич ат критични т. на ф-ята. Критични т. в кои то ф-ята z(x,y) няма ек стремум се нарича сед лови т. или т. на минимакс. Теорема: Ако т.Мо(хо,уо) е крити чна т. на ф-ята z=f(x,y) и в някаква област, съд ържаща тази т., ф-ята има непрекъснати част ни производни до трет и ред включително, то:
а) ако ∆(хо,уо)>0, ф-ята има екстремум в т.Мо, който екстремум е max ако е изпълнено нерав енството и е min, ако
б) ако ∆(хо,уо)<0, ф-ята няма екстремум в т.Мо
в) ако ∆(хо,уо)=0 в т.Мо ф-ята може да има, мо же да няма екстремум.
Екстремуми на неявни ф-ии – Нека з неявна ф-я на х и у, зададена с урав. F(x,y,z)=0, F’z≠0 Както знаем, частните производни на z по х и у са:
=> критичните т. на z ще се опр. от сис. урав нения:
Ако търсим най-голям ото лице на правоъгъл ник с даден периметър имаме зад. за намира не на екстремум на ф-ята S=a.b, като стр. a и b на правоъгълника са свързани с равенство то a+b=c, където c е const. В такъв случай казваме, че имаме зад. за намиране на условен екстремум.

Целият материал: