Векторно произведение на два вектора.
Нека са дадени три вектора и , които са некомпланарни (т.е. техни представители с общо начало не лежат в една равнина). Да означим ъгъла между и с . Да вземем техни представители с общо начало – точка O. Да си представим, че сме стъпили на тази точка, а посоката от краката ни към главата съвпада с посоката на вектора . Нека сега в равнината определена от точка O и от векторите и завъртим вектора (при това началото му остава постоянно в точка O) до сливането му с направлението на вектора . При завъртането вектора трябва да опише (да премине, да “измете”) ъгъла .
При описаната операция са възможни два случая:
Завъртането на вектора да стане в положителна посока, т.е. обратна на движението на часовата стрелка. Тогава казваме, че тройката вектори и , взети в този ред, образуват дясно ориентирана тройка (фиг 1);
Завъртането на вектора да стане в отрицателна посока, т.е. по движението на часовата стрелка. Тогава казваме, че тройката вектори и , взети в този ред, образуват ляво ориентирана тройка (фиг. 2).
Ще обърнем внимание, че разглежданите от нас правоъгълни (декартови) координатни системи винаги са десни, т.е. тройката единични вектори върху съответните оси, взети в този ред, образуват дясно ориентирана тройка.
Определение. Нека са дадени два неколинеарни вектора и и е ъгълът между тях. Векторното произведение на векторите и е вектор , който отговаря на условията:
1). ;
2). Векторът е перпендикулярен на векторите и , т.е. на всяка равнина, определена от техни представители с общо начало;
3). Тройката вектори , , , взети в този ред, е дясно ориентирана.
Векторното произведение на векторите и се бележи , т.е. (фиг. 3).
Векторното произведение на колинеарни вектори по определение е нулевия вектор.
От дефиницията на векторно произведение се вижда, че векторите и са с едно и също направление, с равни дължини и противоположни посоки, т.е.
.
Внимание! Два ненулеви вектора и са колинеарни (успоредни) тогава и само тогава, когато .
Лесно се проверяват равенствата
.
Други свойства на векторното произведение са
, , .
Координатно представяне на векторното произведение и на свойствата му.
Нека сега векторите и са зададени с координатите си и .
Може да се покаже, че координатите на вектора, който е векторно произведение на и са , т.е. .
Лесно се намират координатите на векторното произведение, като вектора формално се представи като детерминанта по следния начин:
.
Най-често векторното произведение се прилага за:
1). Намиране лицето на успоредник, построен върху два дадени вектора и . Пример за такъв успоредник е OADB на фиг. 3.
Показва се, че или координатно
.
Един интересен и важен частен случай е пресмятането на лицето на триъгълник с върхове точките , и .
Тъй като в този случай , , то за векторното им произведение получаваме .
Тогава имаме
.
Търсеното лице на триъгълника ще бъде
|;
2). За установяване колинеарността на два вектора. Това става като се намери векторното им произведение. Ако то е нулевият вектор, то векторите са колинеарни и обратно.
3). Намиране на вектор , който е перпендикулярен на равнината, определена от векторите и . Тъй като вектор е колинеарен с векторното произведение , то съществува число така че .
Този вектор има координати .
Задача 1. Векторът е перпендикулярен на векторите , и образува тъп ъгъл с координатната ос Oy. Да се намерят координатите му, ако .
Решение
Търсеният вектор по условие е перпендикулярен на векторите и и следователно е колинеарен с векторното им произведение. Т.е. съществува число , такова, че . И така, ако намерим координатите на вектора , умножавайки ги по числото ще получим координатите на вектора . Имаме:
.
Следователно координатите на са (-3, -12, 4). Тогава .
Остава да намерим стойността на . Като използваме условието намираме:
.
С тези две стойности на намираме два вектора и , които со противоположни един на друг. Следователно единият от тях ще сключва остър, а другият тъп ъгъл с оста Oy. Нека намерим, например, какъв ъгъл сключва с оста Oy, т.е. с вектора . Имаме .
Тъй като се оказа , то ъгълът е тъп. И така търсеният вектор е .
Задача 2. Да се намери вектор , който да е перпендикулярен на векторите , и да удовлетворява равенството .
Упътване. Ние решихме тази задача при разглеждане на скаларно произведение на два вектора. Сега решете задачата, като приложите подход, аналогичен на този в предходната задача с използване на векторно произведение на два вектора. Ще се убедите, че резултата се постига с много по-малко изчисления.
Отговор. .
Задача 3. Да се намери лицето на триъгълника с върхове:
, , .
Решение
Всъщност трите дадени вектора са радиус – вектори на върховете на триъгълника, които да означим съответно с M1, M2 и M3. Тъй като координатите на радиус – вектора на една точка са координати и на самата точка, то имаме M1(2, -3, 4), M2(1, 1, -2) и M3(2, -1, 3).
Нека разгледаме например векторите и . Лицето на успоредника, построен върху тези вектори, както знаем, се намира по формулата и тъй като , то
.
Но лицето на е половината от лицето на успоредника.
Следователно .
Смесено произведение на три вектора
Определение. Нека са дадени три вектора и . Смесено произведение на трите вектора, взети в тази ред, се нарича числото, което е скаларно произведение на вектора с вектора и се означава , или , т.е. .
В сила са равенствата .
Ако , то тройката вектори и е дясно ориентирана (фиг. 1) и обратно.
Ако , то тройката вектори и е ляво ориентирана (фиг. 2) и обратно.
Внимание! Три вектора са компланарни тогава и само тогава, когато смесеното им произведение е равно на нула.
Следователно, ако три вектора са некомпланарни, то смесеното им произведение е различно от нула и обратно.
Координатното представяне на смесеното произведение на векторите ,
и е:
.
Геометрично тълкуване на смесеното произведение на три вектора.
Абсолютната стойност на смесеното произведение на трите вектора и е равна на обема на паралелепипеда OADBCA1D1B1, построен върху трите вектора (фиг. 4), паралелепипеда, построен върху три представителя на тези вектори, взети с общо начало.
Задача 4. Да се провери дали векторите , и са компланарни.
Решение
Пресмятаме смесеното произведение на трите вектора и получаваме
.
Тъй като се оказа, че , то трите вектора не са компланарни.
Обемът на паралелепипеда, построен върху тях е .
Понеже , то трите вектора и , взети в този ред, образуват ляво ориентирана тройка вектори.
Задача 5. Да се намери обема V на триъгълна пирамида с върхове M1(0, 0, 0), M2(3, 4, -1), M3(2, 3, 5) и M4(6, 0, -3). След това да се намери височината на пирамидата, спусната от върха M1.
Решение
Нека да разгледаме векторите , и (фиг. 5). Обемът на паралелепипеда, построен върху тях е равен на абсолютната стойност на смесеното им произведение. Но, както е известно от средния курс на обучение, обемът на разглежданата от нас пирамида е равен на от обема на паралелепипеда. Следователно имаме
.
За да намерим височината на пирамидата, спусната от върха M1, използуваме формулата , където B е лицето на .
Тъй като , то лицето на ще бъде
.
Сега в равенството заместваме намерените стойности на V и B и получаваме
.
И така имаме .
Векторно произведение на два вектора.rar- (76.31 KиБ) Свален 40 пъти