Вектори

[lusi1987]

Всеки вектор може да се разглежда като наредена съвкупност от реални числа. Например А(а,а1,а2…ап) е енмерен вектор с координати на числата аj, j=1,2..n или накратко aj, j=1n. нулев вектор О(0,0…0) се нарича векторът на к’ всички координати са 0. Единичен вектор е векторът на к’ всички координати са единици Е(1,1…1). Кванти единичен вектор е вектор на к’ квантата координата е 1, а всички останали 0 Е2(0,1,0…0). Векторите А(а1,а2,..ап) и В(в1,в2…вп) са равни ако аj=вj за j=1n. Сумата на А(а1,а2,..ап) и В(в1,в2…вп) е векторът А+В(а1+в1, а2+в2…ап+вп). Произведение на векторът А(а1,а2,…ап) с число К наричаме векторът кА(к1а1,к2а2…кпап). Разлика на А и В е вектор А-В=(а1-в1, а2-в2…ап-вп). Свойства на вектори:

1- А+В=В+А; 2- к(АВ)=кАкВ; 3- ()А=А А; 4- ()А=(А); 5- 1.А=А ; 6- (-1)А=-А; 7- 0.А=0; 8- к0=0. Скаларно произведение на векторите С(с1,с2…сп) и Х(х1,х2…хп) е число СХ=с1х1+с2х2+…+спхп.
Линейни зависимости: казваме че векторът Х е линейна комбинация на векторите А1,А2,…Ар ако к1А1+к2А2+…крАр=Х където к1,к2,кр е елемент на R. Ако кj  0, j=1р и к1+к2+к3+..кп=1 - линейната комбинация е изпъкнала. Векторите А1,А2, Ар са линейни нзависими , ако к1А1+к2А2+…крАр=0 само когато всички коефициенти кj са 0. Ако едното неравенство е изпълнено и поне един от коефициентите е 0, векторите са линейно зависими. Има 2 свойства: 1- ако една система от вектори е линейно зависима такава е и всяка нейна подсистема. 2- ако всяка подсистема на дадена система вектори е линейна зависимост, такава е и цялата система. Базис на дадена система от векторис ранг (мах брой лин.незав.вектори в една система) е r, се нарича всяка нейна подсистема съдържаща с линейни независими вектори.
Тема 2
матрицата е правоъгълна табл.от числа, разположени в редове и стълбове. Ако дадена матрица има т реда и n стълба, казваме, че има размер mxn. Ако m=n, матр.е квадратна, в противен случай тя е правоъгълна. Има матрица-стълб, матрица-ред, триъгълна матрица (квадратна матрица, на която под и над главният диагонал са 0), диагонална (квадрат.матр., в к’ различни от 0 са само елементите от главният диагонал), единична матр. Две матрици със еднаква размерност са равни ако са равни съответните им елементи.
Тема 3
С матриците могат да се дефинират следните действия - 1- две матр.с еднаква размерност се събират като се съберат съответните им елементи. Очевидно е че резултатът е матрица от същата размерност и че А+В=В+А. 2- произведените на дадена матр.А с числото К е матр.от същият вид и има елементи, к’ са произведения на съответните елементи на матр.А с числото К. 3- разлика на едноименни матр.е матр.от същият вид, елементите на к’ са разлики на съответните елементи на дадените матр. 4- умножението на 2 матр.е възможно само когато броят на стълбовете на порвата матр.е равен на броят на редовете на втората матр. Ако А=IIаikIImxp , а В=IIbkjIIpxn , то С=IIcijIImxn . Ако А и В са квадратни матрици, детерминантата на произведението им е произведение на техните детерминанти т.е IAxBI = IAI x IBI. 5- транспонирането на дадена матр.А е действие при к’ редовете на А стават съответни стълбове на транспонираната й матр. А’. Всяка квадратна матр.к’ е равна на своята транспонирана се нарича симетрична матр.
Тема 4
рангът на една матр.е равен на мах.брой линейни независими нейни редове. Рангът на редовете на дадена матрица е равен на ранга на нейните стълбове. Ако имаме А=IIaijIImxn , нейният ранг може да бъде най-много равен на по-малкото от числата m и п. Намирането на ранга на дадена матр.става като редовете и се подлагат на елементарни преобразувания докато се получи стъпаловидна матр (матр.в к’ всеки неин ред първият ненулев елемент стои по-надясно от първият ненулев елемент на предходният ред). Тогава рангът на изследваната матр.е равен на броя на редовете на получената стъпаловедна матр. Елементарни преубразования: 1- смяна на местата на редовете; умножение (деление) на елементите на даден ред с число <> 0; 3- прибавяне на елемент на даден ред към съответните елементи на друг ред, умножени с едно и също <> 0 число; 4- отстраняване на нулев ред или на пропорционален ред. Квадратна матр А-1 се нарича обратна на матр.А, ако А.А-1 = А-1.А=Е. От дефиницията за обратна матр.и от теоремата за детерминанта на произведените на две матр.се получава че det(A).det(A-1)=det(E)=1. Теорема: всяка квадратна неизродена матр.има единствена обратна матрица. Свойства на обратната матр: 1- det(A-1)=1\det(A); 2- (АхВ)-1 =В-1х А-1; 3- (А-1)-1=А; 4- (А-1)’=(А’)-1; 5- ако А е симетрична,то и А-1 е симетрична.
Тема 8.
Един от най-често използваните варианти е задача за производството на мах обем продукция с помоща на ограничителни количества от налични ресурси. Да допуснум че предприятие произвежда п(j=1,n) вида продукция, като използва m(i=1,m) вида ресурси (суровини, гориво, оборудване и др.). за даден планов период наличните количества от тези ресурси са bi единици. Известни са разходите аij на I-ти ресурс за производството на единица от j-та продукция. Нека със сj е означена себестойноста на единица продукция от j-ти вид а с рj - търговската цена. За обемите на произвежданата продукция от j-ти вид са дадени долната aj и горната Аj граница. Необходимо е да се състави програма за производството на видовете продукция, като се отчитат наличните ресурси и наложените ограничения, к’ да осигури на предприятието мах.чиста печалба. Да означим хj количеството единици продукция от j-ти вид, което следва да се произведе за плановият период. Тогава сумарната печалба Z от реализацията на произведената продукция при план на производството (х1,х2,…хп) се определя от функцията Z=(рj-cj)xj. При това общият разход на I-ти ресурс не трябва да превишава наличното количество bi , т.е aijxj=bi , I=1,m. ограниченията в/у обемите на отделните видове произвеждана продукция се изразяват така: аj=xj=Aj при j= 1,m. В действителност при производството не се изключва възможноста за поява на брак. Тогава разходът на ресурсите за производството е свързан с обема хj на производството: аij =а1ij+a2ij където а1ij a2ij,=0 . Заедно с това себестойноста на продукцията сj също зависи от обема на произвежданата продукция: cj=c1j+c2jxj (c1j ,c2j=0). Математически модел: max Z=[pj-
(c1j+c2jxj)]xj=(pj-c1j)xj-=c2jxj при условие (a1ij+a2ijxj)xj=bi

Тема 9.
Ще приведем първоначално математическият модел на задачата за съставяне на оптимални смеси в един често срещан вариант - съставяне на дажби за изхранване на животни т.н задача за съставяне на диети. За изхранване на даден вид животни се използва N-вида фураж, където се съдържат М различни харнителни вещества. Известно е, че единица от j-ти фураж съдържа aij единичи от I-ти хранителен компонент. За нормалната жизнена дейност за даден период от време е необходимо да се консумират не по-малко от bi единици от I-ти компонент. Нека cj е стойноста на единица фураж от j-ти вид. Трябва да се състави такава дажба к’ да съдържа хранителни вещества в необходими количества и сумарните разходи за дажбата да бъдат минимум. MinZ= Scjxj , при условие Saijxj=bi , I=1,m xj=0, j=1,n. по аналогичен начин се съставя моделът за съставяне на шихти.
Тема 10.
Голяма част от материалите, преди да постъпят в основното произв.,се налага да бъдат нарязани (разкроени) на различни по форма и големина части. Да предложим, че за разкрояване постъпват достатъчно количество материали във формата на пръти, листи, рола с еднакви размери. Трябва да се нарежат т (i=1,m) различни по размер заготовки. Известна е потребноста от заготовки то всеки вид и тя е = на bj(j=1,n). установени са предварително п(j=1,n) различни приемливи варианти за разкрояване на 1 изходен материал. Означаваме със аij чрой на заготовките от I-ти вид, получен при разкрояване на 1 изходен материал по j-ти вариант, а с сj- количество на отпадъка, получен при разкрояване на 1 изходен материал по j-ти вариант. Нека хj е брой на единиците изходен материал к’ следва да се разкроят по j-ти вариант. Трябва да се намерят такива стойности на неизвестните хj, че общото количество на отпадъка да се сведе до минимум: Z=Scjxj, при условие S aijxj=bi , I=1,m , j=1,n xj=0
Тема 12.
Изпъкнала линейна комбинация на 2 точки Х1 и Х2 са точки от отсечката, съединяваща тези точки. Изпъкнала линейна комбинация на 3 точки Х1 , Х2 , Х3 е множество от точки ограничени от триъгълника със върхове същите точки. Множество от точки се нарича изпъкнало, ако заедно с кои и да е 2 свои точки съдържа и отсечката, определена от тях. Празното множество и множеството, съдържащо само 1 точка ще отнасяме към изпъкналите множества. Съвкупноста от всички точки Х за к’ IXAI< , се нарича -околност на точка А. Една точка се нар.вътрешна за дадено множество ако съществува поне 1 нейна -околност, к’ изцяло се съдържа в множеството. Гранична точка на множеството К от п-мерното пространство eп , се нарича точка за к’ нейната -околност съдържа както точките от множеството така и точки непренадлежащи на множеството.
Тема 13.
Сечение на 2 множества k1 и к2 от Еп се нар.монжество к, състоящо се от точките, принадлежащи едновременно както на к1 така и на к2 . Теорема 1: сечението на краен брой изпъкнали множества е изпъкнало множество. Върхуви или крайни точки на изпъкнало множество се нар.точки, к’ не могат да бодат вътрешни за отсечка, съединяващи 2 точки от множеството. Изпъкнал многостен се нар.изпъкнало затворено ограничено множество, к’ има краен брой върхови точки. Теорема 3: всяка точка от изпъкнал многостен е изпъкнала линейна комбинация от върховите му точки. С други думи ако Х0 е произволна точка от изпъкналият многостен с върхови точки х1 , х2 , .. , хк , съществуват числа s = 0, s=1,k и 1+2+…+н=1, така че Х0 =1х1+2х2+…+кхк.
Тема 14.
Хиперравнина Н в Еп се нарича съвкупност от всички точки Х=(х1, х2,…хп), компонентите на к’ удовлетворяват линейното уравнение Н съвпада с а1х1+а2х2+…+апхп=а0 при поне едно аi<>0. Полупространство  в Еп се нар.множество от всички точки Х=(х1, х2,…хп)1 к’ удовлетворяват линейното неравенство  съвпада с а1х1+а2х2+…+апхп=а0 при едно аi<>0 накратко може и  съвпада с Ах=а0. Хиперравнината Н съвпада с АХ=а0. Теорема 2: полупространството е изпъкнало множество. Доказателство: нека е дадено полупространството  съвпада с АХ=а0. Избираме Х1 и Х2 от Н, т.е точките удовлетворяват неравенството АХ1=а0, АХ2=а0. Тогава съединителната отсечка Х=кХ1+(1-к)Х2, 0=к=1 принадлежи на Н, тъй като: АН=АкХ1+(1-к)Х2=кАХ1+(1-к)АХ2=ка0+(1-к)а0=а0. Следователно полупространството е изпъкнало множество. Теорема 3: всяка хиперравнина е изпъкнало множество. Доказателство: нека е дадено хиперравнината Н=СХ=а0. Тя може да ес разглежда като сечение на 2 полупространства: Н=1пресича 2, където 1=АХ=а0, 2=АХ=а0. Тъй като 1 и 2 са изпъкнали множество, то тяхното сечение е също изпъкнало множество. Следствие - сечението на краен брой полупространства е изпъкнало множество.
Тема 15
Теорема 1: Множеството от всички допустими решения на задачата на лин.прогр.е изпъкнало. Д-во: очвидно теоремата е вярна, ако задачата има само 1 решение. Да предположим, че х1, х2, ..,хк са допустими решения на задачата на лин.прогр. тъй като хs =0, s=1,к са допустимите планове на задачата, то АХs=В, s=1,к. Нека х=т1х1+т2х2+…+ткхк, тs=0, s=1,к Sтs=1, тогава:АХ= А (т1х1+т2х2+…+ткхк)=т1(АХ1)+..+тк(АХк)=т1В+..+ткВ= (т1+..+тк)В= В,т.е. Х е допустим план на задачата. Следователно множеството от всички допустими лпанове на задачата на ЛП е изпъкнало. Да означим с К множеството от допустими решения на задачата и са възможни следните случаи: когато К е празно множество, системата е несъвместима на задачата - няма решение. Когато се състои само от една точка, то тази точка е решение на задачата. Ако К е изпъкнал многостен, задачата притежава допустими решения, като оптималната стойност на линейната функция е крайно число. В случая когато К е изпъкнала многостенна неограничена област, задачата има допустими решения, но линейната функция може да бъде неограничена отдолу или отгоре. Теорема 4: (основна теорема на ЛП) В случаите, когато множестово от решения на задачата на ЛП е изпъкнал многостен К, целевата функция достига своята оптимална стойност в върховата точка на К. Ако целевата функция достига екстремалната си стойност в няколко върхови точки, то тя приема тази стойност и във всяка точка, която е тяхна изпъкнала линейна комбинация. Доказателсто: От min Z(x*) , X*eKZ(X*)=Z(X), XeK X* - допустимият план за к’ целевата функция достига своят минимум Z(X)=Z(X*) X*=sxs , s0 s=1,k s>1
всяка линейна функция Z(X) притежава свойствата: 1- Z(X+Y)=Z(X)+Z(Y); 2- Z(kX) = kZ(X).