Курсова работа по математика за педагози

[Mozo]

ВТУ „Св.Св. Кирил и Методий”, гр. Велико Търново
ПЕДАГОГИЧЕСКИ ФАКУЛТЕТ
Филиал Враца

КУРСОВА РАБОТА

ПО
МАТЕМАТИКА


I. Теоретична част

1.Дефинирайте основните операции със съждения и посочете основните им свойства.
От елементарните съждения с помощта на съюзите или, и, на частицата не и др. могат да се образуват нови съждения. Те са резултат от определени операции. Тук ще разгледаме основните операции със съждения.
Определение 1. Ако и са две съждения, то изразът "p или q" задава ново съждение, което се нарича дизюнкция или логическа сума на тези съждения и е невярно само в случая, когато и са едновременно неверни. Означава се с (чете се p" или q").
Определение 2. Ако и са две съждения, то изразът "p и q" задава ново съждение, което се нарича конюнкция или логическо произведение на тези съждения и е вярно само в случая, когато и са едновременно верни. Означава се с (чете се "p и q").
Определение 3. Ако е съждение, то изразът "не е вярно, че p" или по-краткото "не p" задава ново съждение, което се нарича логическо отрицание на и е вярно точно когато е невярно. Означава се с (чете се "не p").
Определение 4. Ако и са две съждения, то изразът "ако , то q" задава ново съждение, което се нарича импликация с предходник и наследник , и е невярно само в случая, когато е вярно, а е невярно съждение. Означава се с (чете се "ако , то q", или още "p импликация q").
И тук, както при дизюнкцията, имаме различие при употребата на импликацията в разговорния език и в математиката, но няма да се спираме на този въпрос.
Определение 5. Ако и са две съждения, то изразът "p тогава и само тогава, когато q" задава ново съждение, което се нарича равнозначност или двойна импликация на тези съждения и се приема за вярно само в случаите, когато и двете съждения са едновременно верни или неверни. Означава се с (чете се "p тогава и само тогава, когато q" или още "p двойна импликация q").
Две съждения и се наричат еквивалентни, ако имат равни верностни стойности. Означава се с (чете се "p еквивалентно на q").
Не е трудно да се види, че между операцията равнозначност и релацията еквивалентност съществува следната връзка: тогава и само тогава, когато .
Еквивалентността притежава следните свойства:
1. Рефлексивност – всяко съждение е еквивалентно на себе си, т.е. за всяко съждение .
2. Симетричност – ако имаме , то и за всеки две съждения и .
3. Транзитивност – ако и , то за всеки три съждения , и .
2. По какви начини може да се зададе едно множество? Дайте примери!
Множеството се определя, като съвкупност от елементи със сходни свойства или признаци, но това не е точно определение в математиката.
Конструктивен начин – множеството е зададено, като се посочват всички елементи.
Пример: В множеството А са включени всички четни числа.
Деструктивен начин – като се задава характеристично свойство. Характелистично свойство - признака да е очевиден, с цел да се определи общото и различно между определени елементи.
Пример: Множество от двуцифрени числа, които завършвт на 0 и всички числа, които се делят на 10.

3. Дайте определение за обединение, сечение и разлика на две множества. Изобразете тези операции чрез диаграми на Ойлер – Вен!
Обединение (сума) на множествата и се нарича множеството, чиито елементи принадлежат на поне едно от двете множества. Означава се с "". Следователно в сила е .

Като използваме диаграмите на Ойлер-Вен, можем да представим тази операция по следния начин (черт. 3 и 4):


Черт. 3 Черт. 4

Сечение (произведение) на множествата и се нарича множеството, чийто елементи принадлежат едновременно на двете множества. Означава се с "". Следователно

Използвайки диаграмите на Ойлер-Вен можем да представим тази операция по следния начин (Черт. 5 и 6):


Черт. 5 Черт. 6

Разлика на двете множества и , взети в този ред, се нарича множеството, елементите на което принадлежат на и не принадлежат на Означава се с т.е. .

Ако използваме диаграмите на Ойлер-Вен, то можем да представим тази операция по следния начин (черт. 7 и 8):


Черт. 7 Черт. 8

4. Кога казваме, че едно множество е подмножество на друго множество?
Множеството се включва (нестрого) в множеството , ако всеки елемент на е елемент и на . Подмножеството се означава се с "".

5. Кога казваме, че две множества са равни?
Две множества се наричат равни (идентични), ако се състоят от едни и същи елементи или и двете са празни съвкупности. Означава се със знака "=". Следователно, ако и са непразни множества, то , за всяко . Фактът, че две множества не са в релацията "=", се означава с "".

6. Дайте определение за двучленна релация! Кои са основните свойства на двучленните релации?
Всяко подмножество на множеството се нарича двучленна релация от в . Множеството се нарича начално множество (множество на тръгване), а множеството – крайно множество (множество на пристигане) на релацията . Означава се с .
Основните свойства на двучленните релации са:
1. Рефлексивност – релацията се нарича рефлексивна (отразима), ако за е изпълнено .
2. Антирефлексивност – релацията се нарича антирефлексивна, ако за е изпълнено .
3. Симетричност – релацията се нарича симетрична (обратима), ако за , от следва
4. Антисиметричност – релацията се нарича антисиметрична, ако за, от и следва
5. Транзитивност – релацията се нарича транзитивна (преносима), ако за , от и следва

7. Дайте определение за релация на еквивалентност! Какво наричаме клас на еквивалентност относно дадена релация на еквивалентност?
Релацията се нарича релация на еквивалентност в множеството , aкo е рефлексивна, симетрична и транзитивна. Пример: Две прави от равнината ще наричаме обобщено успоредни, ако те са успоредни или се сливат. Тази релация е рефлексивна, симетрична и транзитивна, докато обикновената успоредност е само симетрична и транзитивна.
Aко e релация на еквивалентност в непразното множество и е фиксиран негов елемент, то множеството от всички елементи , които са в релацията с , се нарича клас на еквивалентност (на абстракция) с представител елемента , относно тази релация. Ще го означаваме с .

8. Дайте определение за равномощни множества!
Множествата и се наричат равномощни, ако или ако те са непразни множества и между елементите им има биективно изображение. Означава се с .

9. Дайте примери за операции, които не са алгебрични в множеството на целите числа.
Операцията, при която по две дадени естествени числа се намира тяхната разлика (ако съществува) се нарича изваждане. Изваждането не е алгебрична операция в . Ако се допусне, че , то тогава съществува естествено число такова, че и според последното свойство на операцията събиране, имаме или . Полученото противоречие доказва нашето твърдение.

Целият материал: