Приложение на системи линейни уравнения и матрици в икономиката

[Mozo]

ПЛОВДИВСКИ УНИВЕРСИТЕТ
„ПАИСИЙ ХИЛЕНДАРСКИ”
ФАКУЛТЕТ ПО ИКОНОМИЧЕСКИ И СОЦИАЛНИ НАУКИ


Р Е Ф Е Р А Т

На тема:

Приложение на матрици и системи линейни уравнения в икономиката


Въведение

Математиката намира приложение във всяка наука в определен стадий на нейното развитие.Математиката започва да се използва по-широко в информатиката през ХIX век. Днес математиката и икономиката вървят ръка за ръка,защото чрез математиката се осъществяват логически преходи от основните предположения на информатиката към извеждане на резултати от тях.Със средствата на математиката се търсят нови свойства и зависимости , които е трудно да бъдат изведени само с икономически метод.

Приложение на матриците в икономиката :

Следното преобразуване :

у1 = 2х1 + 3х2 + 5х3
у2 = 6 х1 - х2 + 4х3

се характеризира със следната матрица :



На това преобразуване може да се дадат различни тълкувания . Най-общо може да се разгледа като преобразуване на едно тримерно в двумерно пространство.От гледна точка на икономиката , тези две равенства например могат да се тълкуват като модел на икономическа система,която на множеството готова продукция (х1 , х2 , х3 ) съпоставя множеството суровини (у1, у2). В този случай аij представлява разходът на суровини от i- тия вид за производството на единица продукция от j-тия вид.
В решаването на икономически задачи за дадено производство , матричното представяне ни помага да открием консумацията на материали , разходите за даденото производство и други.

Нека разгледаме следния пример:
Фирмата Х произвежда два вида продукция П1 и П2 , използвайки материали М1 , М2 , М3 , съответно в количества за единица продукция , показана в таблица 1.


М1
М2
М3
П1
2
4
3
П2
1
2
2
Таблица 1

-Каква ще бъде дневната консумация на материали,ако фирмата Х произвежда дневно 25 ед. от П1 и 20 ед. от П2 .

Означаваме: А – матрица на единичните разходи ; В – матрица на дневно производство на П1 и П2 . ; С – матрица на дневната консумация на материали
Произведението е определено , тъй като броят на редовете на А е равен на броя на стълбовете на В, получаваме :

С = В.А =(25 20) . = ( 25.2+20 25.4 + 20.2 25.3+20.2) = (70 140 115)
Дневната консумация на материали :
М1 = 70 ; М2 = 140 ; М3 = 115

• Какви ще са разходите за производството на единица продукция от П1 и П2 , ако единичните цени на материалите са съответно 5лв за М1 , 10лв. за М2 и 11лв. за М3 ?
Означаваме с D – матрица на единичните цени на материалите ; М – матрица , показваща материалните разходи в лв. за единична продукция ; R – общата сума,изразходвана дневно за материали

D = М=А.D = . =
От това следва ,че разходите за единица производство на П1 и П2 са съответно 83 и 37.
Общата сума,изразходвана дневно за материали се определя по формулата :

R=B.A.D = C.D = (70 140 115) . = 3 015 лева.

Приложение на системите линейни уравнения в икономиката

При разглеждането на производствено-икономически задачи достигаме до математически модели , една голяма част ,от които се описват чрез системи линейни уравнения.Един такъв модел е и моделът на Василий Василиевич Леонтиев (1905г.-1999г.) , за който модел той получава Нобелова награда през 1973 година.
През 30-те години на XX век руският икономист Леонтиев започва да изследва междуотрасловата структура на американската икономика.Той описва връзките между икономическите отрасли чрез система линейни уравнения. Леонтиев изследва икономическия ръст и взаимоотношенията между развитите и развиващите се страни , следвайки модел на световната икономика.Моделът ,който Леонтиев създава, се използва и до днес за моделиране на национални икономики по целия свят , а също така и за моделиране н световната икономика като цяло.Решаването на модела на Леонтиев ни дава възможност да прогнозираме обема на производство,който да задоволява междуотрасловите и пазарните(вътрешните и външните) потребности,
Балансовият модел на Леонтиев се нарича модел на „разходи – приходи” . Моделът „разходи-приходи” се разглежда в два варианта – затворен и отворен.
Затвореният модел разглежда икономиката,чиито сектори произвеждат продукция само за задоволяване на производствените си нужди / не се произвежда продукция за крайни потребители,т.е.векторът ,който ни показва нуждите на потребителите d=0/.
Отвореният модел разглежда икономика,чиито отрасли използват част от продукцията в процеса на производство ,а останалата част остава като краен продукт , който да задоволи нуждите на крайните потребители.

Пример за отворен модел

Нека разгледаме взаимните връзки между два отрасъла – селско стопанство /О1/ и промишленост/О2 /. За производството във всеки от отраслите се извършват следните разходи: за заплати,наем,ток,вода,отопление и т.н. ; за материали и суровини;за транспорт и др.Производствената продукция се използва за: задоволяване на собствени нужди ;за задоволяване нуждите на другия отрасъл ; задоволяване на нуждите на външния и вътрешния пазар. Решението на модела дава възможност за прогнозиране обема на производство,който да задоволява междуотрасловите и пазарните потребности.

Целият материал: