Ранг на матрица

Реферати, есета, доклади и всякакви документи свързани с математиката.

Модератор: Модератори

Ранг на матрица

Мнениеот killer_girl на Пет Сеп 24, 2010 18:38

6. Ранг на матрица
Понятието ранг съпоставя на всяка матрица едно число, което е нейна инварианта по отношение на еквивалентните преобразувания, т.е. не се променя при тяхното прилагане.
Нека е дадена производна матрица Аmxn. Минор от ред к на матрицата А наричаме детерминантата на квадратна матрица от ред к, получена от пресичането на произволно избрани к реда и к стълба на тази матрица.
Ранг на матрица наричаме най-високия ред на различен от нула минор на тази матрица.
Рангът на матрицата А се означава с r(A). Ако матрицата А има рангr, съгласно дадената дефиниция това означава две неща:
1. Матрицата има минор от ред r, който е различен от нула;
2. Всеки минор на А от ред, по-голям от r, е равен на нула.
Рангът на матрица не се променя при следните т.н. елементарни преобразувания:
1. Смяна на местата на два реда (стълба)
2. Умножаване на ред (стълб) с число, различно от нула;
3. Прибавяне на един ред (стълб), умножен с число, към друг ред (стълб).
За да докажем това, че елементарните преобразувания не променят ранга, трябва да покажем, че на всеки ненулев минор М на дадена матрица А съответства ненулев минор М на преобразуваната матрица А от същия ред и обратно. Тъй като елементарните преобразувания са обратими, достатъчно е да направим разгледанията само в едната посока.
Ако М е ненулев минор на матрицата А, първото елементарно преобразувание върху нея има следното действие: а) не променя минора М, ако е приложено върху редове (стълбове), които не участват в него; б) сменя му само знака, ако и двата участват в М; в) ако сменя местата например на ред от М и ред извън М, то минорът М, включващ останалите редове на М и този, който си сменя мястото с реда от М, ще има стойността на М.
Действието на второто елементарно преобразувание е очевидно,: то умножава с число, различно от нула, минорите, образувани с участието на умножения ред, и не променя останалите.
Ясно е, че с помощта на елементарните преобразувания всяка матрица може да се приведе в трапецовидна форма. Второто твърдение, което ще докажем, е че рангът на трапецовидната матрица е равен на броя на ненулевите й редове.
Тъй като премахването на нулевите редове не променя ранга на матрицата, можем да кажем, че всяка матрица е еквивалентна на трапецовидна без нулеви редове. Ако матрицата А е еквивалентна на трапецовидна матрица с r ненулеви реда,

(аii0, I = 1……r), то рангът й е най-много r-минори от по-висок ред последната матрица няма. За да докажем, че r(A) = r, трябва да намерим минор от ред r, който е различен от нула. Такъв е например минорът :

, който е равен на a11. а22…arr.
Следователно пресмятането на ранга на една матрица може да се извърши със същата процедура, с която се решава системи по метода на Гаус - чрез привеждане в трапецовидна форма с еквивалентни преобразувания, които в случая могат да се прилагат както към редовете, така и към стълбовете на матрицата.
Чрез понятието ранг може да се изрази условието за съвместимост на система линейни уравнения.

Ако системата е съвместима, в трапецовидната форма на разширената й матрица няма да участва ред, който да е нулев в основната, а ненулев в разширената матрица. В този случай ранговете на основната и на разширената матрица са равни.
Теорема на Кронекер – Капели:
Теорема 1: Необходимо и достатъчно условие една система линейни уравнения да е съвместима е рангът на основната й матрица да е равен на ранга на разширената матрица.
Рангът на основната матрица е най-много равен на ранга на разширената – от дефиницията на ранг следва, че прибавянето на един стълб или запазва ранга, или го увеличава с единица.
Следствие 1: Една съвместима система линейни уравнения е определена, когато рангът на основната й матрица е равен на броя на неизвестните, и е неопределена, когато е по-малък от техния брой.
От това следствие получаваме условието една хомогенна система да има ненулеви решения:
Теорема 2: Необходимо и достатъчно условие една хомогенна система линейни уравнения да има ненулеви решения е рангът на матрицата й да е по-малък от броя на неизвестните.
Ако системата е квадратна, т.е. има еднакъв брой уравнения и неизвестни, това условие се изразява чрез детерминантата на матрицата й. Действително, детерминатата на системата е единствения й минор от възомжно най-висок ред, а именно броя на неизвестните в системата. Това означава, съгласно определението за ранг, че условието в Теорема 2 е еквивалентно с това детерминатата на системата да е равна на нула. Следователно е в сила следното следствие от Теорема :
Следствие 2: Необходимото и достатъчно условие една квадратна хомогенна система да има ненулеви решения е детерминантата на основната й матрица да е равна на нула.
7. Обратна матрица. Матрични уравнения. Теорема и формула на Крамер
Аналог на реципрочното на едно различно от нула число при матриците е обратната на матрицата А – по дефиниция това е такава матрица В, която умножава с А отляво и отдясно дава единична матрица:
В.А = А.В = Е
От тази дефиниция, съгласно условието за умножение на две матрици следва, че за обратна матрица на матрицата А можем да говорим само ако А е квадратна. Тогава от горното следва, че и обратната й В е квадратна от същия ред, и произведението е единичната матрица от този ред:
Аn.Bn = Bn.An = En
Ще докажем, че ако квадратната матрица А има обратна, тя е единствена. За целта нека допуснем, че А има две обратни В и С. Тогава са изпълнени равенствата:
А.В = B.A = E, A.C = C.A = E
Умножаваме равенството А.В = Е отляво с С:
С.А.В=С.Е
Заместваме произведението С.А с Е и като използваме, че всяка матрица, умножена с единичната отляво или отдясно, се запазва, получаваме
C.A.B = E.B = B = C.E = C
което доказва направеното твърдение.
Обратната на матрицата А, когато съществува, ще означаваме с А-1. От равноправното участие на А и на обратната й В в дефиниционното равенство следва, че ако В е обратна на А, то А е обратна на В:
(А-1)-1 = А
Освен това действието обръщане на матрица има следните свойства:
(А1)-1 =(А-1)1 (А.В)-1 =В-1.А-1
Теорема 1: Необходимо и достатъчно условие една квадратна матрица да има обратна е детерминантата й да е различна от нула.
Доказателство: Квадратна матрица, чиято детерминанта е различна от нула, се нарича неособена или неизродена. В противен случай матрицата се нарича особена или изродена.
Необходимостта на условието, т.е. че ако А има обратна, то А= 0, следва от следната лема, която ще приемем без доказателство:
Лема 1: Ако матриците А и В са квадратни от един и същи ред, то А.В= А.В
Следователно, ако матрицата В е обратна на матрицата А, е изпълнено А.В= А.В= Е= 1
Щом произведението на детерминантите на А и В е равно на 1, всяка от тях е различна от нула.
Матрични уравнения
При изучаване на действията с матрици разгледахме някои матрични уравнения. Тогава ги решавахме като означавахме елементите на неизвестната матрица с някакви букви и след извършването на съответните операции с участващите в уравнението матрици получавахме система уравнения за неизвестните числа. Този начин за решаване на матрични уравнения е универсален – по него може да се реши всяко такова уравнение, стига да е зададено коректно.
Матричните уравнения от вида А.Х = В, Х.А = В, А.Х.В=С могат да се решават чрез използване на обратна матрица, стига матриците – коефициенти, които умножават неизвестната матрица Х, да са квадратни и неособени. Тогава имат обратни и матрицата Х се намира с подходящи умножавания на двете страни на уравнението с тези обратни.
Така например уравнението А.Х=В при посочените условия след умножаване отляво с А-1 става А-1.А.Х = А-1 . В, и след заместването на А-1 . А с Е получаваме решението в матричен запис: Х = А-1 . В
По същия начин за уравненията Х.А =В и А.Х.В = С имаме съответно Х =В.А-1, Х = А-1.С.В-1.
Теорема и формули на Крамер
Всяка система линейни уравнения може да се запише по-кратко в матричен вид и по този начин да се разглежда като едно матрично уравнение: Аmxn.Xnx1 = Bmx1
Следователно в този случай системата е определена.


8. Вектори. Линейни операции. Свойства
Ако А и В са две различни точки, фиксирайки едната от двете възможни посоки на движение върху отсечката АВ, например от А към В, отсечката АВ става насочена отсечка или свързан вектор и се означава . Една ненулева отсечка АВ определя два свързани вектора и , които се наричат противоположни. Ако двата края на отсечката съвпадат, казваме, че е зададен нулев свързан вектор.
Нека АВ е произволен свързан вектор. Множеството на всички свързани вектори, които имат дължината и посоката на свързания вектор АВ, се нарича свободен вектор. Свободните вектори се означават с малки латински букви със стрелка над тях. Ако се нарича представител на вектора с начало А и край В. Дължината на свободния вектор е дължината на неговите представители, а посоката му се определя от тяхната посока. Дължините на векторите се означават стандартно с или . Нулевият вектор е единственият вектор, който няма определена посока и има дължина 0. Вектор с дължина единица се нарича единичен.
Ако е ненулев вектор, противоположен на се нарича векторът, който има големина, равна на тази на , а посоката му е противоположна на посоката на . Означава се с - и очевидно представителите му са противоположните на представителите на вектора свързани вектори.
Съгласно дефиницията на свободен вектор, два вектора и ще са равни когато имат една и съща големина и еднакви посоки, или, казано с други думи, всеки представител на е представител и на и обратно.
Линейни операции:
Сбор на векторите и наричаме вектора , който се определя по следния начин: ако , ,то .
Ако векторите и са успоредни, точките О, А и В ще лежат на една права. Ако двата вектора не са успоредни, триъгълникът ОАВ може да се допълни до успоредник ОАВС и от равенствата получаваме еквивалентното на даденото правило за събиране на вектори:
Както е известно операцията събиране на вектори има свойствата:
1) (комуникативност)
2) (асоциативност)
3)
Разлика на два вектора разбираме вектора , за който . Като вземем предвид свойствата на сбора, можем да запишем разликата като :

Произведение на число и вектор – ако са дадени число  и вектор , под произведение . ще разбираме вектора = . , които се определя по следния начин:
1) ;
2)посоката на съвпада с посоката на , ако >0, и е противоположна на посоката на , ако <0.
Свойства: 1)1. = ; 2) 0. = ; 3) ; 4) ; 5)
От дефиницията на операцията умножение на вектор с число следва, че ако умножим един ненулев вектор с реципрочната стойност на дължината му, той става единичен:
Също така от дефиницията следва, че когато умножим вектора по някакво число, резултатът ще бъде вектор, успоредна на . Ако векторът е ненулев и векторът е успореден на , то е пропорционален на .
Както при матриците, наличието на операциите събиране на вектори и умножаване на вектор с число с указаните свойства ни дава възможност да образуваме произволни линейни комбинации от вектори, т.е. изрази от вида: които ще са отново вектори.

Ранг на матрица.zip
Прикачен файл! Вие нямате нужните права за да сваляте прикачени файлове. Ако нямате създаден профил, регистрирайте се, за да имате тези права.
Сигнатура:
Спорът е способ да затвърдите у противниците си техните заблуждения.
Аватар
killer_girl
Лудетина
Лудетина
Репутация: 1857
killer_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутация
 
Мнения: 7167
Регистриран: 24 Ное 2007
Наличност: 15,731.70
Банка: 326,395.27
Най-високи резултати: 34
Статистика на победите: 0
пол: Жена





Назад към Математика

Кой е на линия

Потребители разглеждащи този форум: 0 регистрирани и 0 госта