Ранг на матрица

Реферати, есета, доклади и всякакви документи свързани с математиката.

Модератор: Модератори

Потребителски аватар
killer_girl
Лудетина
Лудетина
Мнения: 7167
Регистриран: съб ное 24, 2007 16:45
пол: Жена

Ранг на матрица

Мнениеот killer_girl » пет сеп 24, 2010 18:38

6. Ранг на матрица
Понятието ранг съпоставя на всяка матрица едно число, което е нейна инварианта по отношение на еквивалентните преобразувания, т.е. не се променя при тяхното прилагане.
Нека е дадена производна матрица Аmxn. Минор от ред к на матрицата А наричаме детерминантата на квадратна матрица от ред к, получена от пресичането на произволно избрани к реда и к стълба на тази матрица.
Ранг на матрица наричаме най-високия ред на различен от нула минор на тази матрица.
Рангът на матрицата А се означава с r(A). Ако матрицата А има рангr, съгласно дадената дефиниция това означава две неща:
1. Матрицата има минор от ред r, който е различен от нула;
2. Всеки минор на А от ред, по-голям от r, е равен на нула.
Рангът на матрица не се променя при следните т.н. елементарни преобразувания:
1. Смяна на местата на два реда (стълба)
2. Умножаване на ред (стълб) с число, различно от нула;
3. Прибавяне на един ред (стълб), умножен с число, към друг ред (стълб).
За да докажем това, че елементарните преобразувания не променят ранга, трябва да покажем, че на всеки ненулев минор М на дадена матрица А съответства ненулев минор М на преобразуваната матрица А от същия ред и обратно. Тъй като елементарните преобразувания са обратими, достатъчно е да направим разгледанията само в едната посока.
Ако М е ненулев минор на матрицата А, първото елементарно преобразувание върху нея има следното действие: а) не променя минора М, ако е приложено върху редове (стълбове), които не участват в него; б) сменя му само знака, ако и двата участват в М; в) ако сменя местата например на ред от М и ред извън М, то минорът М, включващ останалите редове на М и този, който си сменя мястото с реда от М, ще има стойността на М.
Действието на второто елементарно преобразувание е очевидно,: то умножава с число, различно от нула, минорите, образувани с участието на умножения ред, и не променя останалите.
Ясно е, че с помощта на елементарните преобразувания всяка матрица може да се приведе в трапецовидна форма. Второто твърдение, което ще докажем, е че рангът на трапецовидната матрица е равен на броя на ненулевите й редове.
Тъй като премахването на нулевите редове не променя ранга на матрицата, можем да кажем, че всяка матрица е еквивалентна на трапецовидна без нулеви редове. Ако матрицата А е еквивалентна на трапецовидна матрица с r ненулеви реда,

(аii0, I = 1……r), то рангът й е най-много r-минори от по-висок ред последната матрица няма. За да докажем, че r(A) = r, трябва да намерим минор от ред r, който е различен от нула. Такъв е например минорът :

, който е равен на a11. а22…arr.
Следователно пресмятането на ранга на една матрица може да се извърши със същата процедура, с която се решава системи по метода на Гаус - чрез привеждане в трапецовидна форма с еквивалентни преобразувания, които в случая могат да се прилагат както към редовете, така и към стълбовете на матрицата.
Чрез понятието ранг може да се изрази условието за съвместимост на система линейни уравнения.

Ако системата е съвместима, в трапецовидната форма на разширената й матрица няма да участва ред, който да е нулев в основната, а ненулев в разширената матрица. В този случай ранговете на основната и на разширената матрица са равни.
Теорема на Кронекер – Капели:
Теорема 1: Необходимо и достатъчно условие една система линейни уравнения да е съвместима е рангът на основната й матрица да е равен на ранга на разширената матрица.
Рангът на основната матрица е най-много равен на ранга на разширената – от дефиницията на ранг следва, че прибавянето на един стълб или запазва ранга, или го увеличава с единица.
Следствие 1: Една съвместима система линейни уравнения е определена, когато рангът на основната й матрица е равен на броя на неизвестните, и е неопределена, когато е по-малък от техния брой.
От това следствие получаваме условието една хомогенна система да има ненулеви решения:
Теорема 2: Необходимо и достатъчно условие една хомогенна система линейни уравнения да има ненулеви решения е рангът на матрицата й да е по-малък от броя на неизвестните.
Ако системата е квадратна, т.е. има еднакъв брой уравнения и неизвестни, това условие се изразява чрез детерминантата на матрицата й. Действително, детерминатата на системата е единствения й минор от възомжно най-висок ред, а именно броя на неизвестните в системата. Това означава, съгласно определението за ранг, че условието в Теорема 2 е еквивалентно с това детерминатата на системата да е равна на нула. Следователно е в сила следното следствие от Теорема :
Следствие 2: Необходимото и достатъчно условие една квадратна хомогенна система да има ненулеви решения е детерминантата на основната й матрица да е равна на нула.
7. Обратна матрица. Матрични уравнения. Теорема и формула на Крамер
Аналог на реципрочното на едно различно от нула число при матриците е обратната на матрицата А – по дефиниция това е такава матрица В, която умножава с А отляво и отдясно дава единична матрица:
В.А = А.В = Е
От тази дефиниция, съгласно условието за умножение на две матрици следва, че за обратна матрица на матрицата А можем да говорим само ако А е квадратна. Тогава от горното следва, че и обратната й В е квадратна от същия ред, и произведението е единичната матрица от този ред:
Аn.Bn = Bn.An = En
Ще докажем, че ако квадратната матрица А има обратна, тя е единствена. За целта нека допуснем, че А има две обратни В и С. Тогава са изпълнени равенствата:
А.В = B.A = E, A.C = C.A = E
Умножаваме равенството А.В = Е отляво с С:
С.А.В=С.Е
Заместваме произведението С.А с Е и като използваме, че всяка матрица, умножена с единичната отляво или отдясно, се запазва, получаваме
C.A.B = E.B = B = C.E = C
което доказва направеното твърдение.
Обратната на матрицата А, когато съществува, ще означаваме с А-1. От равноправното участие на А и на обратната й В в дефиниционното равенство следва, че ако В е обратна на А, то А е обратна на В:
(А-1)-1 = А
Освен това действието обръщане на матрица има следните свойства:
(А1)-1 =(А-1)1 (А.В)-1 =В-1.А-1
Теорема 1: Необходимо и достатъчно условие една квадратна матрица да има обратна е детерминантата й да е различна от нула.
Доказателство: Квадратна матрица, чиято детерминанта е различна от нула, се нарича неособена или неизродена. В противен случай матрицата се нарича особена или изродена.
Необходимостта на условието, т.е. че ако А има обратна, то А= 0, следва от следната лема, която ще приемем без доказателство:
Лема 1: Ако матриците А и В са квадратни от един и същи ред, то А.В= А.В
Следователно, ако матрицата В е обратна на матрицата А, е изпълнено А.В= А.В= Е= 1
Щом произведението на детерминантите на А и В е равно на 1, всяка от тях е различна от нула.
Матрични уравнения
При изучаване на действията с матрици разгледахме някои матрични уравнения. Тогава ги решавахме като означавахме елементите на неизвестната матрица с някакви букви и след извършването на съответните операции с участващите в уравнението матрици получавахме система уравнения за неизвестните числа. Този начин за решаване на матрични уравнения е универсален – по него може да се реши всяко такова уравнение, стига да е зададено коректно.
Матричните уравнения от вида А.Х = В, Х.А = В, А.Х.В=С могат да се решават чрез използване на обратна матрица, стига матриците – коефициенти, които умножават неизвестната матрица Х, да са квадратни и неособени. Тогава имат обратни и матрицата Х се намира с подходящи умножавания на двете страни на уравнението с тези обратни.
Така например уравнението А.Х=В при посочените условия след умножаване отляво с А-1 става А-1.А.Х = А-1 . В, и след заместването на А-1 . А с Е получаваме решението в матричен запис: Х = А-1 . В
По същия начин за уравненията Х.А =В и А.Х.В = С имаме съответно Х =В.А-1, Х = А-1.С.В-1.
Теорема и формули на Крамер
Всяка система линейни уравнения може да се запише по-кратко в матричен вид и по този начин да се разглежда като едно матрично уравнение: Аmxn.Xnx1 = Bmx1
Следователно в този случай системата е определена.


8. Вектори. Линейни операции. Свойства
Ако А и В са две различни точки, фиксирайки едната от двете възможни посоки на движение върху отсечката АВ, например от А към В, отсечката АВ става насочена отсечка или свързан вектор и се означава . Една ненулева отсечка АВ определя два свързани вектора и , които се наричат противоположни. Ако двата края на отсечката съвпадат, казваме, че е зададен нулев свързан вектор.
Нека АВ е произволен свързан вектор. Множеството на всички свързани вектори, които имат дължината и посоката на свързания вектор АВ, се нарича свободен вектор. Свободните вектори се означават с малки латински букви със стрелка над тях. Ако се нарича представител на вектора с начало А и край В. Дължината на свободния вектор е дължината на неговите представители, а посоката му се определя от тяхната посока. Дължините на векторите се означават стандартно с или . Нулевият вектор е единственият вектор, който няма определена посока и има дължина 0. Вектор с дължина единица се нарича единичен.
Ако е ненулев вектор, противоположен на се нарича векторът, който има големина, равна на тази на , а посоката му е противоположна на посоката на . Означава се с - и очевидно представителите му са противоположните на представителите на вектора свързани вектори.
Съгласно дефиницията на свободен вектор, два вектора и ще са равни когато имат една и съща големина и еднакви посоки, или, казано с други думи, всеки представител на е представител и на и обратно.
Линейни операции:
Сбор на векторите и наричаме вектора , който се определя по следния начин: ако , ,то .
Ако векторите и са успоредни, точките О, А и В ще лежат на една права. Ако двата вектора не са успоредни, триъгълникът ОАВ може да се допълни до успоредник ОАВС и от равенствата получаваме еквивалентното на даденото правило за събиране на вектори:
Както е известно операцията събиране на вектори има свойствата:
1) (комуникативност)
2) (асоциативност)
3)
Разлика на два вектора разбираме вектора , за който . Като вземем предвид свойствата на сбора, можем да запишем разликата като :

Произведение на число и вектор – ако са дадени число  и вектор , под произведение . ще разбираме вектора = . , които се определя по следния начин:
1) ;
2)посоката на съвпада с посоката на , ако >0, и е противоположна на посоката на , ако <0.
Свойства: 1)1. = ; 2) 0. = ; 3) ; 4) ; 5)
От дефиницията на операцията умножение на вектор с число следва, че ако умножим един ненулев вектор с реципрочната стойност на дължината му, той става единичен:
Също така от дефиницията следва, че когато умножим вектора по някакво число, резултатът ще бъде вектор, успоредна на . Ако векторът е ненулев и векторът е успореден на , то е пропорционален на .
Както при матриците, наличието на операциите събиране на вектори и умножаване на вектор с число с указаните свойства ни дава възможност да образуваме произволни линейни комбинации от вектори, т.е. изрази от вида: които ще са отново вектори.

Ранг на матрица.zip
Нямате нужните права за да преглеждате прикачените към това мнение файлове.
Спорът е способ да затвърдите у противниците си техните заблуждения.


Върни се в “Математика”

Кой е на линия

Потребители, разглеждащи този форум: Няма регистрирани потребители и 0 госта