Добре дошли! Регистрирането отнема няколко минути и е напълно безплатно, но ще ви даде повече възможности. Може да влезете направо с профила си от Фейсбук. Натиснете тук!

Детерминанти. Свойства. Пресмятане на детерминанти.

Реферати, есета, доклади и всякакви документи свързани с математиката.

Модератор: Модератори

Детерминанти. Свойства. Пресмятане на детерминанти.

Мнениеот killer_girl на Пет Сеп 24, 2010 18:44

Детерминанти. Свойства. Пресмятане на детерминанти.

1. Детерминанти
Дефиниция 1. Пермутация на n различни елемента се нарича всяка наредба (α1, α2, …, αn) на числата 1, 2, 3, …, n.
Пермутацията (1, 2, 3, …, n), в която числата са наредени в естествения им ред, се нарича основна пермутация.
Теорема 1. Броят на пермутациите, които се образуват от n различни елементи, е n! (чете се “ен фактуриел”), т.е. P(n) = n! = 1.2.3…n.
По дефиниция 0! = 1.
Свойство: P(n) = n P(n - 1).
Дефиниция 2. Две числа в дадена пермутация образуват инверсия, ако се намират в ред, обратен на този, който имат в основната пермутация.
Броят на всички инверсии в пермутацията е естествено число или нула и се означава [α1, α2, …, αn]. За основната пермутация приемаме [1, 2, 3, …, n] = 0.
Ако броят на инверсиите в пермутацията е четно число или нула, то тази пермутация е четна.
Ако броят на инверсиите в пермутацията е нечетно число, то тази пермутация е нечетна.
Дефиниция 3. Транспозиция в една пермутация означава разместване местата на два елемента.
Ако в дадена пермутация се извърши една транспозиция, се получава нова пермутация с четност, обратна на първата.
Нека е дадена квадратната матрица от n-ти ред
Аn =
Дефиниция 4. Детерминанта от n-ти ред на матрицата Аn се нарича алгебрична сума, за която е изпълнено: 1) Има n! брой събираеми; 2) Всяко събираемо е произведение от n елементи на Аn, взети само по един от всеки ред и всеки стълб; 3) Знакът на всяко събираемо се определя от четността на пермутацията на вторите (първите) индекси на елементите, като първите (вторите) са в основната му пермутация.
Означава се
= det An = = = .

2. Свойства на детерминантите
1. det An = det Ant.
2. Ако всеки елемент на един ред (стълб) се умножи с число λ, то и детерминантата се умножава с това число.
3. Ако се разменят местата на два реда (стълба), детерминантата променя само знака си.
4. Детерминанта с два равни реда (стълба) има стойност нула.
5. Ако всички елементи на ред (стълб) са равни на нула, детерминантата е равна на нула.
6. Стойността на детерминантата не се променя, ако към ред (стълб) се прибави друг ред (стълб), умножен с произволно число.

3. Пресмятане на детерминанти
1. n = 1, Δ1 = | a11 | = a11
2. n = 2, Δ2 = = a11a22 – a12a21.
Правилото “на кръст” за n = 2 е

3. n = 3, Δ3 = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
а) Правило на Сарус за n = 3

б) Правило на триъгълниците за n = 3

4. n- произволно, = .
Дефиниция 5. Детерминантата Dij , получена от чрез премахване на елементите от ред i и стълб j, се нарича поддетерминанта на елемента аij.
Дефиниция 6. Адюнгирано количество на елемента аij се нарича Aij = (-1)i+j Dij.
Теорема 2. Детерминантата е равна на сумата от произведенията на всички елементи от един ред (стълб) със съответните им адюнгирани количества.
= =
Като приложим Теорема 2 за ред 1 на детерминантата от 3-ти ред, се получава
= .
Практическо правило за пресмятане на детерминанта: Най-напред се използват свойствата, запазващи стойността на детерминантата, с цел да се получат в ред (стълб) максимален брой нули и след това се прилага Теорема 2 за този ред (стълб).

Задачи
1. Да се определи четността на пермутациите:
а)(9,7,6,3,4,5,2,8,1); б) (9,7,2,3,4,5,6,8,1).
Решение. Определя се сумата от броя на инверсиите на всеки от елементите на дадена пермутация.
а) [9, 7, 6, 3, 4, 5, 2, 8, 1] = 8 + 6 + 5 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 27, следователно пермутацията е нечетна.
б) [9, 7, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 1] = 8 + 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20, следователно пермутацията е четна. (Наистина може да се забележи, че пермутацията б) е получена от а) чрез транспозиция на елементите 6 и 2.)
2. От елементите 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 да се изберат l и k, така че пермутацията без повторение а) (1, 2, 7, 4, l, 5, 6, k, 9) да е четна; б) (1, l, 2, 5, k, 4, 8, 9, 7) да е нечетна.
Решение. а) Липсващите елементи са 3 и 8. Нека l = 3, k = 8. [1, 2, 7, 4, 3, 5, 6, 8, 9] = 5 и пермутацията е нечетна. Транспозицията на елементите променя четността, т.е. условието на задачата се удовлетворява за l = 8, k = 3.
б) Нека l = 3, k = 6. [1, 3, 2, 5, 6, 4, 8, 9, 7] = 5, т.е. това е търсеното решение.
3. Кои от следните произведения участват в детерминанта от пети ред? Да се определи знакът им. а) а13. а24. а33. а41. а55; б) а21. а13. а34. а55. а42; в) а45. а22. а33. а14. а51.
Решение. а) Произведението а13. а24. а33. а41. а55 не участва в детерминантата, тъй като елементите а13 и а33 са елементи от един и същ стълб.
б) Произведението а21. а13. а34. а55. а42 удовлетворява Дефиниция 4. Нека подредим елементите по редовете: а21. а13. а34. а55. а42 = а13. а21. а34. а42. а55. Тогава знакът ще се определи от четността на пермутацията, която образуват съответните им стълбове. [3, 1, 4, 2, 5] = 3. Следователно знакът на произведението е минус.
в) а45. а22. а33. а14. а51 = а14. а22. а33. а45. а51 и [4, 2, 3, 5, 1] = 6, следователно знакът на произведението е плюс.
Забележка. Произведенията в подточки б) и в) могат да се подредят по стълбове и да се определи четността на пермутациите, които образуват съответните им редове. Да се провери!
4. Да се пресметнат детерминантите от втори ред:
а) ; б) ; в) .
Решение. а) От правилото за пресмятане на детерминанта от втори ред се получава = (-3).5 – (-1).4 = -15 + 4 = -11.
б) = cos α.cos β – sin α.sin β = cos (α + β).
в) За пресмятането ще използваме последователно свойство 6 и свойство 2 на детерминантите: 1) От елементите на втория стълб изваждаме съответните елементи от първия стълб; 2) Изнасяме общия множител на елементите от втория стълб пред детерминантата; 3) Изчисляваме детерминантата по правилото. В резултат на горните операции получаваме:
= = 100 = 100.(13547 – 28423) = -1 487 600.
5. Да се напишат поддетерминантите и адюнгираните количества на елементите от втория ред.
.
Решение. D21 = = 10, D22 = = -10, D23 = = -10,
А21 = (-1)2+1.10 = -10, А22 = (-1)2+2.(-10) = -10, А23 = (-1)2+3.(-10) = 10.
6. Да се пресметне детерминантата .
Решение. I начин (Правило на Сарус): Определяме произведенията на елементите от главния диагонал и двата успоредни на него. Това са произведенията, които участват в сумата със знак плюс. Произведенията на елементите от второстепенния диагонал и двата успоредни на него участват в сумата със знак минус.
= 3.(-4).2 + (-1).8.7 + 1.5.(-6) – 1.(-4).7 – 3.8.(-6) – (-1).5.2 = 72.
II начин (Правило на триъгълниците): Работи се по схемата
= 3.(-4).2 + 7.(-1).8 + 1.5.(-6) – 1.(-4).7 – 3.8.(-6) – 2.(-1).5 = 72 .
+ -
+
III начин (Използва се Теорема 2): Пресмята се по формулата а11.A11 + а12.A12 + а13.A13: = 3.(-1)1+1. + (-1).(-1)1+2. + 1.(-1)1+3. = 72.
IV начин (Прилага се свойство 6 и Теорема 2): Прибавяме елементите от третия стълб към съответните елементи от втория стълб, а умножени с (-3) ги прибавяме към съответните елементи от първия стълб:
= . Сега пресмятаме детерминантата по Теорема 2, при което получаваме 1.(-1)1+3. = 4. = 4.18 = 72.
7. Да се пресметне детерминантата: .
Решение. Да представим детерминантата като сума от произведенията на елементите от първия стълб със съответните им адюнгирани количества (Теорема 2):

------------------------------------------------------------------------

Детерминанти. Свойства. Пресмятане на детерминанти..zip
Прикачен файл! Вие нямате нужните права за да сваляте прикачени файлове. Ако нямате създаден профил, регистрирайте се, за да имате тези права.
Сигнатура:
Спорът е способ да затвърдите у противниците си техните заблуждения.
Аватар
killer_girl
Лудетина
Лудетина
Репутация: 1857
killer_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутацияkiller_girl изгражда репутация
 
Мнения: 7167
Регистриран: 24 Ное 2007
Наличност: 15,731.70
Банка: 326,415.27
Най-високи резултати: 34
Статистика на победите: 0
пол: Жена





Назад към Математика

Кой е на линия

Потребители разглеждащи този форум: 0 регистрирани и 0 госта